层次线性模型有很多名字，比如混合效应模型，多层线性模型，层次回归模型等等。
本篇介绍层次线性模型的逻辑。我们从一个简单的例子开始，这个例子建立在读者对回归和方差分析（ANOVA）中熟悉的概念的理解之上。
一元线性回归模型
我们首先考虑单个学生层面的预测变量（例如，社会经济地位[SES]）与一个学生层面的结果变量（数学成就 Achivement）在一个假设学校内的关系。
我们假设，学生层面的结果变量（Achivement）是一个线性函数，其系数为β1，截距为β0，残差为ε。
那么公式如下：
$ \text{Achivement} = \beta_0 + \beta_1 \cdot \text{SES} + \epsilon_i $
我们用X表示自变量，Y表示因变量，以上公式可以形式化为：
$$ \begin{aligned} Y_i = \beta_0 + \beta_1 \cdot X_i + \epsilon_i \end{aligned} $$
用散点图表示：
通常我们会对自变量进行中心化，即自变量减去其均值$X_i-\bar X$, 这样中心化可以赋予截距β0一个特殊的含义。例如中心化后，我们可以看到下面的散点图:
最终截距β0的含义是因变量的均值，即当自变量X为0时，因变量取均值。
假如我们分析两个学校的数据， 分别绘制散点图，分别拟合回归线，得到下面的图像：
这时候我们可以比较两个截距β0，发现两个学校中，学校A的截距β01远远高于学校B的截距β02。注意截距的含义就是当自变量取0时，因变量取均值。所以可以看出学校A的平均学生成绩高于学校B的平均学生成绩。从斜率可以看出，当学生的社会经济地位（SES）提高时，学生成绩也会提高。但是比较两个学校发现，SES变化一个单位，学校A的学生成绩变化比较小，说明学校A的学生成绩受到SES的影响较小。
J个学校的情况
我们现在考虑J个学校的数据，每个学校的数据都包含N个学生的数据。我们仍然假设，学生层面的结果变量（Achivement）是一个线性函数，其系数为β1，截距为β0，残差为ε。对于学校j的模型，就是：
$$ \begin{aligned} Y_{ij} = \beta_{0j} + \beta_{1j} \cdot X_{ij} + \epsilon_{ij} \end{aligned} $$
我们观察到β1和β0都带有角标j，它意味着这些参数随着学校的变化而变化，所以他们实际上是变量。而变量都有期望和方差，我们增加了如下参数：
$$ E(\beta_{0j}) = \gamma_0 \\ Var(\beta_{0j}) = \tau_0 \\ E(\beta_{1j}) = \gamma_1 \\ Var(\beta_{1j}) = \tau_1 \\ Cov(\beta_{0j},\beta_{1j}) = \rho_{01} $$
我们需要了解这几个参数，因为在大部分多水平的建模软件里，可能都会出现他们的名字，
让很多小白用户感到困惑。
如果我们假设所有的学校共享同样的截距和斜率，那么这个模型就退回到前面的一元线性模型。
这时候截距的期望就是因变量的均值，而截距的方差就是0，那么这些参数也就是已知的了。
没有自变量X的随机截距模型
当模型中不包含自变量的时候，写作：
$$ \begin{aligned} Y_{ij} = \beta_{0j} + \epsilon_{ij} \end{aligned} $$
在这个模型中，我们使用β0j加上一个误差来预测因变量Y， 那么β0j怎么样参能对Y有最佳预测准确度，也就是误差最小呢？通过最小二乘法可以计算出，当β0j取学校的学生平均Y值的时候，对Y有最佳的预测，误差最小。所以当你估计出来截距β0j的时候，就可以认为这个截距就是j学校学生的均值。
现在这个模型就叫做随机截距模型。
引入学校层面变量
变量$W_j$指的是学校是否是私有的，我们按照常识推断，私人学校可能比公办学校平均成绩更高。在我们的模型里，哪个参数代表了学校的平均成绩？β0j。
我们可以假设：
$$ \beta_{0j} = \gamma_0 + \gamma_1 W_j $$
带入前面的模型，我们可以得到：
$$ Y_{ij} = \gamma_0 + \gamma_1 W_j + \epsilon_{ij} $$
这是一个不太靠谱的模型，因为我们对成绩Y的预测，仅仅依赖学校是否私有这一个变量，
学校是私有的，则相对的成绩会高一些， 但是一个学校里的所有学生都会预测为一个值，然后加上一个随机的误差$\epsilon_{ij}$.
现在这个模型就是一个随机截距模型，并且还引入了一个学校层面的变量对随机的截距进行预测。
随机斜率模型
前面的模型没有考虑随机截距，下面考虑自变量X对因变量Y的影响是随学校的不同而不同的， 那么有如下模型：
$$ Y_{ij} = \beta_{0j} + \beta_{1j} X_{ij} + \epsilon_{ij} $$
现在先不考虑变量W，我们有如下假定：
$$ \beta_{0j} = \gamma_{00} + \mu_{0j} \\ \beta_{1j} = \gamma_{10} + \mu_{1j} $$
$\gamma_{00} \gamma_{01}$ 是一个常数， 代表截距和斜率的平均值，$\mu_{0j}$ 和 $\mu_{1j}$ 是随机变量， 它们都有角标j，说明他们都是随着学校的不同而变化的，代表不同学校的截距和斜率偏离均值的大小。 如果你在一些统计软件里见到$\gamma$你就应该知道它是截距和斜率的平均值。但是你不会见到$\mu$这个参数，因为它是变量，它有均值和方差，以及他们之间的协方差，我们定义如下：
$tau_{00}$: 截距的方差$tau_{11}$: 斜率的方差$tau_{01}$: 截距的协方差
这些参数在很多多水平混合效应建模软件中都可能出现。 因为我们是多水平建模，我们期望方差都是显著的，
因为方差不显著就是0，方差为0就是常数，是在组间不变的，如果截距和斜率在组间不变，那么我们失去了做多水平建模的必要性。
引入学校层面的变量
我们假定变量W对截距和斜率有影响，如：
$$ \beta_{0j} = \gamma_{00} + \gamma_{01} W_j + \mu_{0j} \beta_{1j} = \gamma_{10} + \gamma_{11} W_j + \mu_{1j} $$
在模型中，替换掉截距和斜率可得下面的模型：
$$ Y_{ij} = (\gamma_{00} + \gamma_{01} W_j + \mu_{0j}) + (\gamma_{10} + \gamma_{11} W_j + \mu_{1j}) X_{ij} + \epsilon_{ij} $$
化简以后：
$$ Y_{ij} = \gamma_{00} + \gamma_{01} W_j + \mu_{0j} + \gamma_{10} X_{ij} + \gamma_{11} W_j X_{ij} + \epsilon_{ij} $$
变量中心化
我们知道，截距就是自变量取值为0时，因变量的值。 但是如果你的自变量取值范围不包括0，截距是毫无意义的。但是变量中心化以后，自变量取值为0时，就是中心化前的平均值，截距就是自变量取均值时因变量的值，实际上也是因变量的期望。所以中心化的好处就显而易见。
前面提了一嘴变量的中心化，不管是多层模型还是其他模型，变量的中心化主要目的就是提高参数的可解释性。
这篇文章不会深入的解释其中的原理，只是简单的介绍。
中心化主要有两种方式：变量减去全部样本均值(grandmean)和变量减去所在组均值(groupmean)。
grandmean
假如我们有多个学校的学生样本，X变量的所有样本均值是$\bar X$ , 那么grandmean就是$X-\bar X$ .
在grandmean的情况下， 截距有如下表达式：
$\mu_{Yj}$是第j个学校学生的因变量均值。 所以每个学校的截距就是每个学校的因变量均值，再减去斜率与总体均值与学校均值差的乘积。
groupmean
假如我们有多个学校的学生样本，X变量的各学校样本均值是$\bar X_j$ , 那么 groupmean 就是$X-\bar X_j$ .
这种情况下， 截距就是所在学校的因变量均值：
